jueves, 8 de agosto de 2013






Perspectiva curvilínea

En una perspectiva cónica usual el plano del cuadro es plano, sin curvatura alguna, este detalle tiene el inconveniente de que si colocamos el plano del cuadro paralelo a una pared con baldosas, la perspectiva de las mismas son cuadrados que nunca pierden su dimensión aunque estén cada vez más alejados del observador. Por ello, la perspectiva lineal clásica no respeta el principio fundamental de la perspectiva, aquel que refiere que una misma dimensión de un objeto al estar más alejada debe aparecer más pequeña. Otro ejemplo muy claro lo tenemos en el caso de que nos asomemos a la ventana y observemos el edificio de enfrente, las líneas verticales de la fachada fugan hacia la parte de arriba si observamos hacia el cielo mientras que si observamos hacia el suelo esas mismas líneas verticales fugan hacia abajo. Si las mismas líneas paralelas  fugan en ambos sentidos, siendo no coincidentes, quiere decir que necesariamente se curvan.
Para suplir este problema podemos construir una perspectiva que considere el plano del cuadro con curvatura, si es como en este caso una semiesfera la distorsión puede ser excesiva, pero no es un problema importante ya que lo que interesa es conocer bien la dirección de las líneas curvas que representan a las rectas. Aunque desconocemos con precisión lo que vemos, lo que percibimos, el hecho de que nuestra retina tenga curvatura nos hace pensar que el problema planteado  anteriormente sobre la perspectiva lineal o artificial, la perspectiva matemática propiamente dicha, es distinta de nuestra percepción espacial. No obstante no tenemos muy claro lo que vemos en perspectiva ya que la visión nítida o foveal al abarcar un ángulo muy pequeño nuestros ojos pueden observar la periferia pero sin tener muy claro qué es realmente lo que se está mirando por los laterales.

Fundamento
 En la planta se representa el punto de vista V1 y la semiesfera o esfera sobre la que se proyecta el espacio circundante con todos sus elementos. El punto de vista V coincide con el centro de la esfera. En el alzado representamos también el punto de vista V2 y el plano del cuadro que es la proyección de la semiesfera en el alzado. Podemos representar otra vista en perfil de la semiesfera y el punto de vista, aunque por regla general no es una vista necesaria, ya que un punto queda definido por dos proyecciones y se puede calcular como la intersección de dos rectas que pasan por él.
La perspectiva que se tiene sobre la esfera proyectada en alzado no coincide con la perspectiva del observador colocado en el centro de la esfera, ya que la perspectiva obtenida sobre la esfera la estamos proyectando en el alzado ortogonalmente, en consecuencia esta perspectiva curvilínea es la proyección ortogonal sobre un plano  de los elementos espaciales proyectados previamente sobre la esfera desde  su centro.
Para representar el punto sobre la perspectiva, imaginamos tres rectas que pasan por él, las correspondientes a los ejes, una recta paralela a la línea de tierra, una recta perpendicular al plano vertical o también llamada recta de punta y una recta vertical.
Al alinear el punto de vista con el punto dado P3 en el perfil, considerando la recta paralela a la línea de tierra, tenemos un plano que pasa por estos elementos y que corta a la semiesfera según una circunferencia que se proyecta como elipse y cuyo eje menor queda definido por  la proyección de la intersección de la recta P3-V3 con la semiesfera.
Al proyectar el punto T3 sobre el alzado obtenemos T2, que es el extremo del eje menor del elipse cuyas fugas son F2 H2, está elipse es la representación de la línea paralela a la línea de tierra que pasa por el punto dado P.
De igual forma operamos en la planta, si consideramos la recta vertical que pasa por el punto dado y cuya proyección  es P1, tenemos que ésta recta y el punto de vista corta a la semiesfera según una circunferencia que pasa por los puntos M1-V1. Esta semicircunferencia se proyecta sobre la circunferencia del alzado o proyección de la semiesfera en alzado según una elipse cuyos puntos de fuga son L2 I2 y cuyo extremo que determina el eje menor de la elipse, corresponde a la proyección del punto M1 sobre el eje horizontal menor de la elipse, siendo este el semieje M2-V2.
La intersección de las dos rectas definen el punto del que queremos saber la perspectiva, en consecuencia la perspectiva de las dos rectas  no es otra cosa que las dos elipses que determinan en su intersección la perspectiva P’del punto P.
Si queremos representar una línea o recta de punta, esto es, una recta perpendicular al plano vertical, construimos un plano que pase por esta recta y por el punto de vista. Este plano en el alzado es un plano de canto o proyectante vertical por lo que la proyección de ésta circunferencia o círculo mayor es una recta que pasa por los puntos P2 V2 y obviamente por P’.



En la figura podemos observar la esfera en planta, alzado y perfil.  Situado sobre el plano horizontal aparece un punto que queda determinado por sus tres proyecciones: en planta denominado Q en color verde, su proyección en alzado R en color magenta y su proyección L en el perfil en color amarillo.

Sobre la esfera en el alzado aparece la perspectiva de las tres líneas coincidentes con los ejes que cartesianos que pasan por él, en color azul, verde y ocre.
Para dibujar la elipse con precisión correspondiente a la proyección del plano de sección que definen cualquier recta y el punto de vista podemos dibujar una cónica por cinco puntos, los correspondientes a los extremos de los ejes mayor y menor y un punto determinado por la intersección de las líneas IV WB, siendo W el punto medio del segmento UV. 

Podemos observar sobre la geometría dinámica en el blog anterior en este mismo apartado que al mover los puntos amarillo L y verde Q variamos la posición del punto obteniendo distintas perspectivas de las rectas que pasan por él, esto es la elipse verde, azul y la recta amarilla. Como sabemos la intersección de los tres elementos definen la perspectiva del punto, representado en el alzado por A1, en color rojo, perspectiva del punto R en alzado.




Perspectiva curvilínea


Rectas que se transforman en curvas:



En este dibujo podemos observar el fundamento para construir la perspectiva de un segmento en el sistema diédrico. La recta oblicua azul definida en planta y alzado y el punto de vista V o centro de la esfera. Construimos el plano que pasa por ambos elementos y calculamos su sección, que es la elipse azul. Si por el punto de vista hacemos una recta paralela a la dada obtenemos en la intersección con la sección los dos puntos de fuga F T.
Al unir los extremos del segmento con el punto de vista obtenemos en la intersección con la sección los extremos de la perspectiva del segmento y por tanto podemos decir que la perspectiva del segmento azul es el segmento rosa. Como podemos observar en el alzado tenemos un segmento azul y su perspectiva rosa, podemos verificar que efectivamente no son coincidentes, porque si lo fuera una recta en el espacio se transformaría en línea recta sobre la esfera, cosa contradictoria que sólo sucede cuando ésta incide en el alzado en el punto principal, que en esta perspectiva también coincide con el punto de vista proyectado. Podemos comprobar por tanto que la perspectiva de los elementos no coincide con los elementos proyectados ortogonalmente sobre el alzado, esta perspectiva es la proyección central sobre un plano esférico proyectado ortogonalmente en un alzado.

En la figura podemos observar la representación de un cubo, las tres proyecciones del cubo en planta, alzado y perfil y la perspectiva del mismo en el alzado.
Por ejemplo, para representar la recta vertical o arista del cubo s, construimos el plano vertical en planta que pasa por esta recta y el punto de vista V1. Este plano vertical cortar la esfera según un círculo mayor cuyo extremo T1 pasa por el ecuador de la esfera. Este punto lo proyectamos en el alzado obteniendo T2, siendo el eje menor de la elipse T2-V2 y el eje mayor Z2-W2. Todas las líneas verticales siguen el mismo procedimiento de construcción. Para representar una línea paralela a la línea de tierra, como el ejemplo de la recta n, pasamos el plano por esta recta y por el punto de vista y en el perfil observamos que el plano corta al meridiano de la esfera en P3, punto que proyectamos sobre el alzado obteniendo una elipse cuyo eje menor es P2-V2. Las demás rectas se obtienen siguiendo el mismo procedimiento.
Todas las rectas perpendiculares al plano vertical o rectas de punta tienen el punto de fuga sobre la proyección del punto de vista en el alzado, esto es, en V2. Como son planos de canto las proyecciones de estos planos sobre la esfera son círculos mayores que en el alzado se transforman en rectas, rectas que pasan por los puntos o vértices del cubo en el alzado y que van hasta el punto de vista V2. La intersección de estas líneas con las dos elipses definen el cubo que se ha coloreado para mejor apreciación.


En la figura podemos observar un cubo en proyección oblicua y su proyección central sobre la esfera desde V2. El procedimiento siempre es el mismo, la perspectiva de cada recta es la intersección del plano que pasa por esta recta y el punto de vista con la esfera.
 Para acotar la longitud de la arista alineamos el punto de vista con los extremos o vértices de la arista y donde cortan al arco sección obtenemos la perspectiva curvilínea del segmento. La proyección en alzado es la perspectiva curvilínea que estamos utilizando, así por ejemplo, la línea que pasa la arista AB se transforma sobre la esfera en la circunferencia e, alineando los vértices o extremos de esta arista con el punto de vista V obtenemos en la intersección con la sección los puntos A’ B’. El arco elíptico A’B’ es la perspectiva de la arista, y la perspectiva de todas las aristas definen la perspectiva del cubo.


La perspectiva del cubo del ejercicio anterior, se ha coloreado las caras interiores dejando la cara AEFB transparente para ver el interior. Podemos observar la perspectiva del cuadrilátero y la curvatura de todas las líneas, proyecciones elípticas ortogonales de curvas que son en la realidad circunferencias mayores de la esfera.




En esta imagen más cercana podemos observar en detalle correspondiente a la figura anterior en el alzado, la proyección de dos caras en color amarillo y azul sobre la esfera, cada cuadrado se proyecta según cuatro círculos mayores y los vértices de éstos cuadrados están alineados con el punto de vista y la perspectiva de los puntos del cuadrado.




Perspectiva curvilínea de un embaldosado

En la figura podemos observar las tres esferas en planta, alzado y perfil. Un embaldosado sobre el plano horizontal que vamos a representar en la perspectiva curvilínea. El punto de vista V es el centro de la esfera y coincidente en el alzado con el punto principal P. todas las líneas perpendiculares al plano vertical, como la recta c, se transforman en las rectas azules de la perspectiva curvilínea. Todas las rectas paralelas a la línea de tierra (en color rojo), como la recta b, se transforman en elipses cuyo eje mayor es el segmento F1 F2, los dos puntos de fuga de las líneas paralelas a la línea de tierra. La intersección de las elipses y de las rectas azules definen la perspectiva curvilínea del embaldosado.
 Como podemos observar una diagonal u de los cuadrados del embaldosado, tiene por perspectiva curvilínea la “recta” elíptica u’. El plano que pasa por esta recta y por el punto de vista corta a la esfera en planta según un círculo mayor que pasa por el punto H, que proyectado sobre el ecuador de la esfera en el alzado obtenemos el punto M, en consecuencia el diámetro menor de la elipse u’ pasa por M-P  y por los vértices de los cuadrados y el eje mayor de la elipse corresponde al diámetro vertical de la circunferencia a’, que es en realidad el meridiano que pasa por el plano V1-a.
Si queremos representar la perspectiva de un punto N del embaldosado (definido por sus tres proyecciones en planta N1, alzado N2 y perfil N3), determinamos dos rectas b c que pasan por él. La perspectiva de la recta c queda definida por los puntos N2-P y la perspectiva de la recta b, que está a cuatro unidades del punto de vista tanto en la planta como en el perfil, queda definida en el perfil por su proyección que es el punto N3. La perspectiva de esta recta sobre la esfera será la sección del plano que define esta recta y el punto de vista V3, esto es, un círculo mayor cuyo extremo en el perfil es el punto L3, intersección de la recta N3-V3 y la circunferencia correspondiente al contorno de la esfera en el perfil. Al proyectar este punto extremo L3 sobre el alzado, se transforma sobre el eje vertical en el punto S2 que junto al punto principal P determina el eje menor de la elipse, y que junto a su eje mayor F1 F2, determina la perspectiva b’ de la recta b. En la perspectiva curvilínea podemos observar por tanto la perspectiva de estas dos líneas b’ c’ y su punto N’ de intersección, perspectiva de N.




En la figura tenemos la perspectiva curvilínea de dos prismas, uno mayor y estrecho frente a la esfera y de color violeta y otro con sus caras iguales (cubo) y de caras de distintos colores. Ese prisma se prolonga en la planta y en el alzado interfiriendo con su proyección en el perfil, para ahorrar espacio.

 Respecto a la perspectiva del ejercicio anterior tenemos como novedad que la recta a paralela a la línea de tierra se solapa en el perfil con la esfera de proyección. El procedimiento es el mismo se alínea esa recta a paralela a la línea de tierra con el punto de vista de la tercera protección y en la prolongación de esta línea tenemos que corta al contorno de la esfera en a’. Este punto se proyecta ortogonalmente sobre el alzado hasta el eje vertical que pasa por el punto principal P, obteniendo de esta forma el diámetro menor a’’-P de la elipse. Al construir la elipse completa observamos que efectivamente es la intersección de los dos planos del cubo, el amarillo y naranja.
Tenemos otra novedad respecto al ejercicio anterior y es que un punto cualquiera del prisma, por ejemplo el punto N determinado por las proyecciones N1 N2, tiene en el alzado su perspectiva sobre la recta N2-P como ya se ha visto, ya que son 2 puntos pertenecientes a la traza de un plano de canto o proyectante vertical, perpendicular al plano vertical y por lo tanto sus proyecciones están los dos sobre la traza de ese plano.
La perspectiva del punto N se obtiene alineando en la planta su proyección N1 con el punto de vista V1 obteniendo en la intersección del plano vertical que pasa por esta recta y el punto de vista con la esfera, un círculo mayor cuyo extremo del eje menor elíptico en que se transforma es el punto J’. En consecuencia al trazar la elipse de diámetro mayor, el correspondiente a la esfera y el diámetro menor J’-P, observamos que corta a la recta N2-P en N’, perspectiva del punto N.
Otra novedad respecto a los ejercicios anteriores es que el plano del suelo representado en planta, es de color azul y su perspectiva curvilínea en el alzado está acotado dentro de la esfera, dejando ver más allá del plano del suelo azul parte del prisma, para ver nuevamente después a partir de la vertical por N2 el resto de el suelo en color azul más claro como si fuera una perspectiva cónica usual, sin plano del cuadro curvo, esto es, la representación del suelo entre la línea de tierra LT y la línea del horizonte LH. Esto es un efecto lupa de la esfera que comprime el espacio permitiendo representar todos los elementos que entren dentro de 180°, acorde a una aproximación a nuestra visión con los dos ojos, de esta manera podemos observar gran parte del espacio, incluido el cubo aunque esté en una posición muy lateral respecto al punto de vista; eso sí, cuanto más periférico éste el objeto respecto al punto principal P más distorsionada va a salir su perspectiva curvilínea, es lo que se llama en perspectiva una anamorfosis.

http://geometria-de-la-esfera.blogspot.com.es/ 






















En el dibujo podemos ver la perspectiva axonométrica de una habitación con dos tabiques de color verde y rosado y una puerta sobre uno de ellos, el suelo azul y el techo sería amarillo aunque  no aparece para no interferir en el dibujo. Observamos además la semiesfera de proyección, el centro V de la misma o punto de vista y todos los vértices de la habitación alineados con el punto de vista, la intersección de estas líneas con la esfera definen los puntos de la perspectiva. De esta forma podemos ver por ejemplo que el cuadrilátero EFGA se transforma en la perspectiva curvilínea en los puntos E’F’G’A’.

Como ya hemos visto la perspectiva de cada recta es la intersección del plano que pasa por ella y por el centro del esfera, esto quiere decir que siempre es una circunferencia que proyectada sobre un nuevo plano de proyección ortogonalmente se transforma por regla general en una curva elíptica, en algunas excepciones se transforma en una recta, cuando el plano que pasa por el centro de la esfera y la recta es perpendicular al plano de proyección sobre el que se representa la perspectiva curvilínea.




En este ejercicio vemos resuelta la perspectiva curvilínea representada en el ejercicio anterior, como siempre colocamos las tres proyecciones de la semiesfera y el objeto a representar cuando menos en planta y en alzado. Calculamos la intersección de los planos que pasan por las rectas a representar y por el punto de vista V, de esta forma obtenemos las circunferencias que proyectadas en el alzado se transforman en elipses.
Como podemos observar en el alzado todos los puntos de la perspectiva curvilínea están alineados con los puntos de la proyección en alzado de la figura, de esta manera tenemos que, por ejemplo, B2-B’-V2 están alineados.















Para obtener la perspectiva de una recta a construimos el plano que pasa por la recta y por el centro de la esfera O. La intersección del plano aO con la esfera es la perspectiva de la recta a sobre la esfera y la proyección de la intersección en el alzado es la perspectiva curvilínea de la recta.

Para calcular con precisión la elipse y sus ejes, partimos del sistema diédrico de los datos tal y como aparecen en la figura a la izquierda: una esfera representada por sus proyecciones en planta y alzado y una recta oblicua a determinada por sus proyecciones a1 a2  de la que vamos a calcular su perspectiva.
A la derecha observamos la resolución del ejercicio, por el centro de la esfera en el alzado o punto de vista O2 hacemos una recta paralela a la línea de tierra hasta que corte a la recta dada a2, en el punto de intersección bajamos una vertical hasta que corte a la proyección a1, uniendo el punto de intersección con el centro de la esfera en planta tenemos la dirección de la traza horizontal del plano que determinan la recta dada y el centro de la esfera. Por la traza de la proyección de la recta a1 hacemos una línea paralela a esa dirección obteniendo así la traza del plano oblicuo épsilon 1. Para obtener la traza vertical unimos el punto de intersección de la traza horizontal del plano y de la línea de tierra con la traza vertical a2 de la recta teniendo de esta forma épsilon dos. Para obtener los diámetros de la elipse, por ejemplo el diámetro CD, sabemos que es paralelo a la traza épsilon uno, por el centro del esfera donde esta recta paralela a esa dirección corta al contorno del esfera obtenemos C1-D1, que es el eje mayor de la elipse en planta. Para obtener el eje menor podemos hacer un cambio de plano proyectando la esfera sobre un nuevo plano de proyección, abatiendo la sección que pasa por el centro de la esfera, obtenemos así en el abatimiento del plano la sección (E1) (F1), que es la intersección del plano en esta nueva proyección con el perfil de la esfera por el centro. Para representar en esta nueva proyección la esfera colocamos la cota o altura del centro del esfera apoyada sobre el plano con la nueva línea de tierra, como sabemos que el plano pasa por el centro de proyección abatido (O1) tenemos ya la pendiente del plano, que es el ángulo que forma la recta (E1) (F1) y la recta correspondiente a la nueva línea de tierra (en color rojo). Proyectamos los puntos (E1) (F1) sobre la esfera en planta y sobre el diámetro perpendicular a C1 D1, obteniendo de esta forma en su intersección los puntos E1 F1.
Para obtener los ejes principales de la elipse en el alzado, subimos C1 D1 mediante proyecciones ortogonales a la línea de tierra al alzado y donde corta  a la recta paralela a la línea de tierra por el centro de la esfera obtenemos C2 D2, la proyección en el alzado de C1 D1.
El diámetro A2 B2 se obtiene al hacer por el centro de la esfera O2 en el alzado una recta paralela a la traza épsilon dos, donde  esta línea corta al contorno de la esfera obtenemos los puntos A2 B2, que son los que definen el diámetro mayor de la elipse en el alzado.
Para obtener la longitud exacta del diámetro menor haríamos como en la planta, mediante un abatimiento o proyección del plano que pasa por el centro de la esfera, determinando de esta manera la intersección con el plano de corte de la misma, así procedimos también en la tercera proyección para determinar el eje menor de la elipse, mientras que en esta proyección tenemos también al igual que en las otras dos que el diámetro mayor de la elipse G3 H3 es paralelo a la traza del plano épsilon tres, donde esta  línea que pasa por el centro de la esfera O3 corta al contorno de la misma obtenemos G3 H3.
Como ya se vio anteriormente la perspectiva curvilínea de la recta a2 es el arco elíptico A2 B2, ambos elementos coplanarios con el centro de la esfera o punto de vista O2.

En la siguiente página podemos ver el cálculo de la sección de la esfera por abatimiento:
http://seccion-diedrica-de-esfera.blogspot.com.es/





El caso de la elipsoide: Es como el de la esfera pero se amplía el campo visual horizontalmente, como en nuestra visión binocular.
En el dibujo vemos la planta y alzado de un cubo y el elipsoide sobre el que se proyecta, la perspectiva es la proyección en alzado del cubo sobre el elipsoide.




Perspectiva cilíndrica




 En la figura observamos otro tipo de perspectiva curvilínea con plano de cuadro cilíndrico. Para calcular los segmentos verticales del cubo pasamos planos que pasen por esas aristas y por el centro de proyección o punto de vista V. Por ejemplo, el plano que pasa por los puntos CDV corta a la base del cilindro en el punto R por el que levantamos una vertical. Si unimos los vértices CD con el punto de vista obtenemos en la intersección con la vertical por R la perspectiva de los dos puntos C’ D’. Con las otras aristas verticales seguimos el mismo procedimiento. Como podemos observar, a diferencia de la perspectiva de plano esférico, en este plano cilíndrico las líneas verticales aparecen como rectas perfectamente verticales.
Obtenidas la perspectiva de dos vértices B’ G’ por el procedimiento anterior tenemos que la línea que pasa por ellos es una curva elíptica Z’ que es la intersección del plano GBV con el cilindro. Tenemos que esta línea o curva elíptica proyectada ortogonalmente sobre un alzado se transforma en una línea recta Z’’ ya que el plano que pasa por el punto de vista V y por la recta Z’ es un plano de canto o proyectante vertical y por tanto todas las curvas elípticas verdes del cilindro que corresponden a planos proyectantes verticales se transforman en el alzado en líneas rectas verdes.
El horizonte de la perspectiva pasa por el punto principal P o proyección ortogonal del punto de vista sobre el cilindro siguiendo la dirección ortogonal al alzado. Todas las líneas paralelas a la arista CB de la base del cubo se transforman en la perspectiva  en arcos elípticos con los mismos puntos de fuga que la línea que pasa por su perspectiva C’ B’.
Como vemos en el dibujo todas las líneas paralelas a la arista IC tienen por perspectiva cilíndrica ortogonal sobre el plano del cuadro a líneas rectas verdes que pasan por el punto principal P. Éstas líneas que son perfectamente rectas son proyecciones ortogonales de todas las posibles secciones del cilindro que pasan por la línea PV que define el punto principal y el punto de vista. Mientras que todas las líneas paralelas a la arista del cubo CB se proyectan según arcos elípticos cuyos centros de las elipses están sobre el punto principal P y los extremos del eje mayor de cada elipse están sobre la línea horizontal que pasa por este mismo punto principal siendo tangente a las generatrices extremas del cilindro.







En el dibujo observamos las tres vistas de lo que va a ser la construcción de la perspectiva curvilínea con plano del cuadro cilíndrico. En planta tenemos el embaldosado sobre el que se apoya un cubo cuya cara superior es de color rosa, además está el plano de cuadro cilíndrico con la ubicación del punto de vista V1 situado en el centro del eje de revolución del semicilindro.
Tenemos la proyección en alzado del cubo y del semicilindro y la proyección en el perfil de las mismas figuras.
Unimos el vértice C1 de la base del cubo con el punto de vista V mediante una recta s que corta a la superficie cilíndrica en un punto C’1 que proyectamos sobre el alzado,  obteniendo la línea vertical m’, que es la intersección del plano vertical que pasa por los puntos V1 C1 con la superficie cilíndrica. Todas las aristas verticales del cubo se obtienen de la misma forma y la cota o altura de los puntos la podemos obtener en el perfil de la figura, como vemos al alinear el punto de vista V3 de la tercera proyección con el punto C3, del que queremos calcular su perspectiva, proyectamos también en el perfil la recta m y observamos que corta a la recta cuya proyección es s3 en el punto C’3, mediante una ortogonal la proyectamos sobre el alzado obteniendo la perspectiva C’ del punto C en la intersección con la recta m’, proyección ortogonal del punto C1’.

Observamos que todas las rectas paralelas a la arista C1 B1 tienen por puntos de fuga la intersección de la recta horizontal por el punto de vista V2 con el extremo de las aristas del cilindro en el alzado, son arcos elípticos cuyos puntos de fuga inciden sobre las generatrices del contorno de los lados. Mientras que la perspectiva de las rectas perpendiculares a las anteriores, son, al igual que en la esfera, arcos elípticos sobre la superficie cilíndrica que se proyectan en el alzado según líneas rectas que aparecen en color verde y que pasan por V2.
Si proyectamos el embaldosado sobre el cilindro en su proyección en perfil tenemos el caso contrario, las curvas elípticas verdes que aparecían como rectas en el alzado ahora se tornan perfectamente curvas sobre la proyección del perfil mientras que los arcos el elípticos negros que aparecen proyectados en la perspectiva curvilínea cilíndrica en el alzado se muestran ahora como líneas perfectamente rectas que pasan por el punto de vista V3 en su tercera proyección.